Движение

С помощью инструментов для моделирования поступательного и вращательного движения пользователь может задавать относительное перемещение или скорость изменения положения двух тел, соединенных шарнирами. Это можно использовать, например, при моделировании работы роботизированных манипуляторов или аналогичных механизмов: пользователь задает относительное угловое перемещение в шарнире (в виде ступенчатой ​​или иной функции), а решатель вычисляет крутящий момент, необходимый приводу этого шарнира для обеспечения заданного движения.

Математическая основа для моделирования движения

Учет кинематического движения означает переход от связей, не зависящих от времени: $\Phi ( q ) = \ 0$) к связям, зависящим от времени:

$\Phi \left( q , \ t \right) = p ( q ) - f ( t ) = 0$,

где:

• $p ( q )$ — это фактическое физическое геометрическое состояние (расстояние или угол), извлекаемое из текущих абсолютных координат тел $q$;
• $f ( t )$ — это пользовательская функция, зависящая от времени.

Недостающие значения скорости и ускорения движения пользователя автоматически вычисляются внутри компилятора движений с использованием высокоточного метода центральных конечных разностей.:

Скорость: $v ( t ) = \frac{f ( t + h ) - f ( t - h )}{2 h}$

Ускорение: $a ( t ) = \frac{f ( t + h ) - 2 f ( t ) + f ( t - h )}{h^{2}}$

Где: $h = d t$ – временной шаг.

На основе заданных ограничений движения обновляются матрица Якоби ($\Phi_{q}$$) и вектор правой части для скоростей и ускорений ($\gamma^{*}$) с учетом стабилизации по методу Баумгарте.

Полученный в результате решения задачи множитель Лагранжа (λ), соответствующий данному ограничению движения, представляет собой именно тот крутящий момент или силу привода, которые необходимы для осуществления движения. Это значение включается в выходные данные телеметрии.

Определение движения

Движение (Motion) задается следующими параметрами в пользовательском интерфейсе:

• Joint: шарнир, которому задается движение. Поддерживаются следующие соединения: петлевые, призматические и цилиндрические (Revolute, Prismatic, Cylindrical).
• Translational/ Rotational Motion: Выпадающее меню линейного/вращательного движения: Прямолинейное движение применимо к призматическим и цилиндрическим суставам. Вращательное движение применимо для петлевых и цилиндрических соединений.
• Displacement/ Velocity Motion: Выпадающее меню Смещение /Скорость.
• Поле ввода для задания функции движения — это пользовательская функция движения, зависящая от времени $f ( t )$.

Примеры функций движения:

• 0: Движение ограничено для этой степени свободы;
• t*10: Движение пропорционально времени.
• 100*sin(pi*t): тело подвергается гармоническим колебаниям с угловой частотой π (см. график ниже).
  • Движение (задано), мм: $x ( t ) = 1 0 0 \cdot \sin ( \pi t )$
  • Скорость (результат), мм/с: $v ( t ) = 1 0 0 \pi \cdot \cos ( \pi t )$
  • Ускорение (результат), мм/с^2: $a ( t ) = - 1 0 0 \pi^{2} \cdot \sin ( \pi t )$

Математические функции для определения движения

Движения можно определить как комбинацию математических функций времени. В поле ввода можно напрямую ввести следующие функции:

sin(t), cos(t), tan(t), sqrt(t) (квадратный корень), exp(t) (экспоненция), abs(t) (абсолютное значение), pi (константа π ≈ 3.14159).

Можно использовать 'np.' для вызова любой стандартной математической функции NumPy, например:

np.cosh(t), np.round(t), np.sign(t) и т.д.

Полный список поддерживаемых математических функций:

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.math.html

Пользовательские функции: STEP, IF

В программе поддерживаются следующие пользовательские функции:

Функция STEP

Шаговая функция плавно меняется между двумя заданными значениями.

Синтаксис: step(t; t0; F0; t1; F1)

Пример прямолинейного движения (мм): step(t; 1; 0; 2; 50)

В результате: тело остаётся в положении 0 мм до 1 секунды, затем плавно перемещается на 50 мм к моменту времени 2 секунды. Красная кривая на графике показывает заданное движение, синяя — результат скорости.

Математическая формула для функции «step» широко используется в компьютерной графике и математике, известная как кубическая интерполяция Эрмита или функция гладкого шага.

При условии $x_{0} < x_{1}$, функция выражается следующим образом:

$$f ( x ) \ = \begin{cases}h_{0} , \ i f \ x \leq x_{0} \\ h_{0} + \left( h_{1} - h_{0} \right) ( 3 - 2 u ) u^{2} , \ i f \ x_{0} < x < x_{1} \\ h_{1} , i f \ x \geq x_{1}\end{cases}$$

где — нормированное положение $x$ между $x_{0}$ и $x_{1}$:

$$u = \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}}$$

Функция IF

Синтаксис: if(<условие>; <значение, если меньше или равно 0>; <значение, если больше 0>).

Пример: if(t-1; 0; 2)

Результат: если t ≤1, вывод 0. Если t > 1, вывод 2.

Тело остаётся неподвижным до первой секунды, затем мгновенно начинает вращаться со скоростью 2 радиана в секунду.

Предупреждение: Как показано в этом примере, функция демонстрирует разрыв при t=1, что может привести к неустойчивому решению или даже к сбою решателя. Поэтому предпочтительнее использовать функцию STEP с плавным переходом параметров.

Назначение траектории (сплайна) по точкам из файла данных

Сила, крутящий момент и движение могут быть заданы в виде пользовательского сплайна - траектории, построенной на основе временного ряда, импортированного из файла данных (формата DAT или CSV).

Кнопка «Spline» открывает специальное диалоговое окно, содержащее кнопку «Browse...» для выбора файла данных, а также область построения графика, где отображаются точки из файла пользователя и соединяющий их сплайн (кривая линия). Путь к файлу данных сплайна сохраняется в поле формулы силы/момента или движения в следующем виде: spline(path\file_name).

После загрузки файла данных подготавливается объект-интерполятор, соединяющий точки в кривую линию (scipy.interpolate.Akima1DInterpolator), благодаря чему решатель может обращаться к нему напрямую в любой необходимый момент времени.

При создании сплайна учитываются следующие правила:

1. Для моментов времени, выходящих за пределы диапазона, указанного в файле, до начального момента используется первое значение, а после конечного — последнее.
2. Единицы измерения значений в файле соответствуют единицам, используемым в текущих полях интерфейса:

• Сила: Н,
• Крутящий момент: Н·мм,
• Перемещение: мм или рад (в зависимости от режима: поступательное или вращательное),
• Скорость движения: мм/с или рад/с (в зависимости от режима).

3. Режим сплайна недоступен для траекторий приводов и электродвигателей.
4. Проверка корректности пользовательского файла данных:

• минимум 2 корректные строки,
• первый числовой столбец — время, второй числовой столбец — значение,
• дополнительные столбцы игнорируются,
• строки заголовка пропускаются,
• автоматически определяется разделитель: запятая, точка с запятой, табуляция или пробел,
• отклонение или нормализация дублирующихся значений времени,
• сортировка по времени (при необходимости).